確率を一切使わずに「モンティホール問題」を解説したよ

モンティホール問題とは？

モンティホール問題は、確率の数学で広く知れ渡っている問題だと思います。
問題自体はシンプル極まりないのですが、直感的な答えと、厳密な確率に則って導き出された答えが異なるという確率の事例となります。発表された当時、多くの数学者の黒歴史を産み出したとニコニコ大百科では書かれています。

このことは以前のブログでも書きましたね。

改めて、問題を整理しましょう。

① プレイヤーの前にはA,B,Cの3つのドアがあり、その奥には当たりが１つ、ハズレが２つ用意されている。
② プレイヤーがドアを１つ選択する（この時点では開けない）。
③ モンティは正解のドアを把握しており、残された２つのうちハズレのドアを1つ開ける（２つともハズレの場合はランダム）。これはプレイヤーの回答に関わらず必ず行われ、そのことは予めプレイヤーも認識ている。
④ モンティは「今なら選択を変更して構いませんよ？」とプレイヤーに問いかける。

ニコニコ大百科より

ちなみに、正解は選択を変更した方が当たりやすくなります。しかも、２倍当たりやすくなります。

ニコニコ大百科の解説

一応、ニコニコ大百科にも解説がありますが、読めば読むほどチンプンカンプンになるのではないでしょうか？

最初にプレイヤーがドアを選択した時点では、

選んだ1枚のドアが当たりである確率　……　１／３
選ばなかった2枚のドアのうちどちらかが当たりである確率　……　２／３

もし選んだ1枚が当たりなら
残された２つのドアはどちらもハズレのため、司会者がどちらを開けようとも選択を変えないのが正解。
もし選ばなかったうちどちらかが当たりなら
残された２つのドアのうち片方はハズレであり、司会者は必ずこのドアを開ける。
となれば最終的に残ったドアが当たりであるから選択を変えるのが正解。
さて先ほど述べたように、当たりを引く確率は１／３、ハズレの確率は２／３である。
これはつまり、最初の選択のままで当たる確率が１／３、選択を変えると当たる確率が２／３であると言い換えることができる。
したがって、変更した方が２倍の確率で当たるので変更すべきである。

逆にこの解説で納得できる方は、このブログをそっと閉じてください。ここに来た方は、もっと分かりやすい解説を求めていると思われます。

実は、確率を使わなくても解説できる

僕もこの問題は直観とは反するものだったため、最初は意味不明だったのですが、ある2chまとめのコメント欄に書かれていた解説のおかげで、すんなり理解できました。ただ、その解説が今どこで見たのかまでは覚えていません。そこで、その解説を図で分かりやすく、ブログに書くことにしました。図を使用することで、確率どころか分数すらいらない解説となり、より多くの人が理解できるのではないかと思います。