【不思議な数学の雑学】1=0.999...であることの５つの簡単な証明

数学の不思議

たまには、このブログのテーマらしい記事を書きたいと思います。トリビア・話のネタとして使ってください。

数学の世界では、実は次の式が成り立ちます。

1=0.99999999999999...

0.999...と9を繰り返し並べていくと、実はその数字は１と同じだと言うのです。

この数式は日本では馴染みがありませんが、海外だと小学生の段階で教える国もあるそうですよ。小学生は絶対ぽかんとするでしょうねw。

さて、私たちの直感とは矛盾する数式ではありますが、もちろん証明する方法がありますので、５つだけ紹介します。

3分の1を使った証明

1/3=0.333...　ですよね。

この両辺に3をかけます。すると、

1/3×3=0.333...×3

これを計算すると、

1=0.999...

となります。（証明終わり）

1つの文字を使った証明

X=0.999...とします。ー①

この両辺に10をかけます。すると、

10X=9.999... となります。ー②

次に②と①の両辺それぞれを引き算します。すると、

 10X－X=9.999...－0.999...　となります。

よって、9X=9　となります。

あとは、この両辺を9で割れば、

Ｘ＝1 と分かります。

ところで、一番最初に、Ｘ＝0.999...だと前置きしているので、

1=0.999...と分かります。（証明終わり）

引き算したら0になるを利用した証明

同じ数同士を引き算したら、0になりますよね。例えば、1－1=0、2－2=0です。このことから、もしも1=0.999...ならば、1－0.999...＝０になるはずです。

これは実際に自分で電卓で引き算してみてもいいかもしれません。僕はGoogleで計算してみました。

すると、答えは確かに0に近づきました。

よって、1－0.999...=0.000...

なので、1=0.999.... となります。（証明終わり）

足し算したら2になるを利用した証明

1+1=2になりますよね。よって、1=0.999...ならば

1+0.999...=2　になるはずです。

実際計算をしてみると、

1+0.999...=1.999... となり、確かに答えは２に近づきました。

よって、1=0.999…となります。（証明終わり）

2つの文字を使った証明

A=1

B=0.999...

とします。

ここで、(A+B)/2を計算します。

まず、

A+B=1.999…　となります。

そして、1.999÷2を計算したら、0.999...と出てきます。

よって、(A+B)/2=0.999...となります。－①

ところで、B=0.999...と最初に前置きしているので、①の式の0.999...の部分をＢに置き換えます。

すると、

(A+B)/2=Ｂ　となります。

この式の両辺を2倍にすると、

A+B=2Ｂ

さらに、この式を簡単にすると、

Ａ＝Ｂ　となります。

ところで、A=1、B=0.999...　と最初に前置きしているので、

1=0.999...となります。（証明終わり）

参考動画

この証明方法はあるYoutube動画を参考にしました。英語で説明していますが、英語分からなくてもだいたい言っている意味が分かると思います。興味があれば見てください。

追記：国語的な解釈による証明

知り合いの数学マニアに、国語力や論理力がある人なら理解できる証明方法があると教わったので、紹介します。

まず、１と0.9があるとします。両者を引き算すれば、その差は0.1です。

次に、１と0.99があるとします。両者の差は0.01です。

次に、１と0.999があるとします。両者の差は0.001です。

このように、１と0.999･･･は、引き算するとその差が0.0000･･･となります。

つまり、1と0.999･･･の差は無限に小さくなることを意味します。

この「差は無限に小さくなる」に注目しましょう。

差とは日本語で「違い」と言い換えられますので、こう書き直します。

「違いは無限に小さくなる」

これはこう言い直すこともできます。

「違いは無限になくなる」

どうでしょうか。これは結局「違いはない」と同じ意味になりませんか？

よって、１と0.99･･･の「差は無限に小さくなる」は「違いはない」と同義なので、１＝0.999･･･が成立するということになります。

このような、論理的な解釈もできるようです。どちらかというと哲学に近いのかもしれませんね。